Question

已知：f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4，
（1）当x∈R时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（2）当x∈[1，3）时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）当x∈（1，3）时，恰有f（x）＜mx-7成立，求a，m的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分a=2时，和a＜2时两种情况进行讨论，当a＜2时，根据判别式小于0即可．
（2）分a=2时，和a≠2时两种情况进行讨论，分别求出a的范围后，综合讨论结果，可得答案．
（3）结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=-4＜0，故当x∈R时，恒有f（x）＜0，
当

a＜2 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

⇒-2＜a＜2，
综上所述a的取值范围（-2，2]．
（2）由（1）得a=2，成立，当a≠2，对称轴x=-1
∴

a-2＜0 f(1)＜0

或

a-2＞0 f(1)＜0 f(3)≤0

⇒a＜2或2＜a≤

34

15

∴综上所述a的取值范围（-∞，

34

15

]．
（3）∵f（x）＜mx-7，
∴f（x）-mx+7＜0，
即（a-2）x²+（2a-4-m）x+3＜0，
令g（x）=（a-2）x²+（2a-4-m）x+3＜0
∵x∈（1，3）时，恰有f（x）＜mx-7成立
∴

a＞2 g(1)=0 g(3)=0

⇒

a＞2 3a-m=3 5a-m=9

⇒

a=3 m=6

．
故a=3，m=6．

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．