Question

11．已知函数f（x）=2xlnx-x²+2ax，其中a＞0．
（1）设g（x）是f（x）的导函数，求函数g（x）的极值；
（2）是否存在常数a，使得x∈[1，+∞）时，f（x）≤0恒成立，且f（x）=0有唯一解，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导，求得g（x）=2lnx+2-2x+2a，（x＞0）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数g（x）的极值；
（2）由（1）可知：必然存在x₀＞1，使得f（x）在（1，x₀）单调递增，（x₀，+∞）单调递减，且f′（x₀）=0，求得a的表达式，存在a使得f（x）_max=f（x₀）=0，代入即可求得x₀，即可求得a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=2xlnx-x²+2ax，（x＞0）求导，g（x）=f′（x）=2lnx+2-2x+2a，（x＞0）
g′（x）=$\frac{2}{x}$-2=-$\frac{2（x-1）}{x}$，（x＞0）
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
g（x）在（0，1）单调递增；在（1，+∞）单调递减，
∴当x=1时，取极大值，极大值为g（1）=2a，无极小值；
（2）由（1）知：f′（1）=2a＞0，且f′（x）在（1，+∞）单调递减，且x→+∞时，f′（x）＜0，
则必然存在x₀＞1，使得f（x）在（1，x₀）单调递增，（x₀，+∞）单调递减；
且f′（x₀）=2lnx₀+2-2x₀+2a=0，即a=-lnx₀-1+x₀，①
此时：当x∈[1，+∞）时，由题意知：只需要找实数a使得f（x）_max=f（x₀）=0，
f（x₀）=2x₀lnx₀-x₀²+2ax₀，将①式代入知：
f（x₀）=2x₀lnx₀-x₀²+2ax₀=2x₀lnx₀-x₀²+2x₀（-lnx₀-1+x₀）=x₀²-2x₀=0，
得到x₀=2，从而a=-lnx₀-1+x₀=1-ln2，
∴a的值为1-ln2．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，不等式恒成立，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．