Question

2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t为參数） 以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ+2rcosθ=0（r＞0）．
（I ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）当r为何值时，曲线C 上有且只有3个点到直线l的距离为1？

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数能求出直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程转化为ρ²+2rρcosθ=0，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）由曲线C 上有且只有3个点到直线l的距离为1，得到曲线C的圆心C（-r，0）到直线l的距离d+1=r，由此能求出r．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t为參数），
∴直线l的普通方程为x+y-1=0，
∵曲线C的极坐标方程ρ+2rcosθ=0（r＞0），即ρ²+2rρcosθ=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²+2rx=0，即（x+r）²+y²=r²（r＞0）．
（Ⅱ）∵曲线C 上有且只有3个点到直线l的距离为1，
∴曲线C的圆心C（-r，0）到直线l的距离d+1=r，
即$\frac{|r-1|}{\sqrt{2}}$+1=r，解得r=1．
∴当r=1时，曲线C 上有且只有3个点到直线l的距离为1．

点评 本题考查直线的普通方程与曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．