Question

已知椭圆C的两个焦点分别为，且点在椭圆C上，又.
（1）求焦点F₂的轨迹的方程；
（2）若直线与曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围.

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1）因为点在椭圆上，由椭圆定义知
 恰好符合双曲线的定义.动点 在以、 为焦点的双曲线上；
（2）由（1）得曲线的方程 ,设 ,联立方程组 
消去得方程有两个正根.由韦达定理可建立与 的关系
另外，由 将由韦达定理得到的关系式代入其中可得关于关系式，再结合即可求得 的取值范围.
试题解析：（1） 

故轨迹 为以、  为焦点的双曲线的右支
设其方程为： 
 
故轨迹方程为.                               （6分）
（2）由
方程有两个正根.

设，由条件知.
而

即
整理得，即
由（1）知，即显然成立.
由（2）、（3）知
而.

.
故的取值范围为               （12分）