Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

试题分析：（1）由直线和圆相切，求，再由离心率，得，从而求，进而求椭圆的方程；（2）要说明直线、的斜率之积是否为定值，关键是确定、两点的坐标.首先设直线的方程，并与椭圆联立，设，利用三点共线确定、两点的坐标的坐标，再计算直线、的斜率之积，这时会涉及到，结合根与系数的关系，研究其值是否为定值即可．
试题解析：（1），故     4分
（2）设，若直线与纵轴垂直，  

则中有一点与重合，与题意不符，
故可设直线.           5分
将其与椭圆方程联立，消去得：
          6分
     7分
由三点共线可知，，，        8分
同理可得                                             9分
                  10分
而       11分
所以
故直线、的斜率为定值.                                  13分