Question

9．已知等差数列{a_n}满足a₃=5，a₅+a₇=22，等差数列{a_n}的前n项和S_n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n
（Ⅱ）若b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=5，a₅+a₇=22，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{2{a}_{1}+10d=22}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=n+$\frac{（n-1）n}{2}×2$=n²．
（II）b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1×2+3×2²+5×2³…+（2n-1）•2ⁿ．
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-4，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+4．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．