Question

19．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1≤0}\\{x+y-3≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，则sinθ的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{4\sqrt{65}}{65}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出A，B的位置，利用向量的数量积求出夹角的余弦，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，要使sinθ最大，
则由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（2，1），
∴此时夹角θ最大，
则$\overrightarrow{OA}$=（1，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，1），
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•\overrightarrow{|OB}|}$=$\frac{1×2+2×1}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，
∴sinθ=$\frac{3}{5}$．
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，以及向量的数量积运算，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．