Question

求函数f（x）=-

1

2

x²+x+3在区间[t，t+2]的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先，求解函数的对称轴，然后，借助于二次函数的对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论．

解答： 解：∵函数f（x）=-

1

2

x²+x+3，
∴函数f（x）=-

1

2

（x-1）²+

7

2

，
该函数的图象的对称轴为x=1，
当t+2＜1，即t＜-1，函数[t，t+2]为单调增函数，最大值为：f（t+2）=-

1

2

t²-2t-2，
当-1≤t≤1，函数的最大值为：f（1）=

7

2

，
当t＞1，函数[t，t+2]为单调减函数，函数的最大值为：f（t）=-

1

2

t²+t+3，
∴函数f（x）=-

1

2

x²+x+3在区间[t，t+2]的最大值：
当t＜-1时，最大值为：f（t+2）=-

1

2

t²-2t-2，
当-1≤t≤1时，最大值为：f（1）=

7

2

，
当t＞1时，函数的最大值为：f（t）=-

1

2

t²+t+3，

点评：本题重点考查了二次函数的图象与性质、二次函数的对称轴与最大值的关系等知识，属于中档题．