题目内容

20．在△ABC中，cos2$\frac{B}{2}$=$\frac{a+2c}{4c}$（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

分析 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，右边整理后，得出cosB=$\frac{a}{2c}$①，利用余弦定理表示出cosB，代入等式化简得到b=c，即可判断三角形ABC形状．

解答 解：已知等式变形得：cosB+1=$\frac{a}{2c}$+1，
即cosB=$\frac{a}{2c}$①，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
代入①得：$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{a}{2c}$，
整理得：b2=c2，
即有b=c．
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．

点评 此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．

练习册系列答案
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