Question

12．利用定积分的几何意义，计算$\int_1^2{\sqrt{4-{x^2}}}dx$等于（　　）

• A． 2
• B． π
• C． $\frac{2π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，AC⊥x轴，C（1，0），B（2，0）．由定积分的几何意义，$\int_1^2{\sqrt{4-{x^2}}}dx$表示扇形AOB的面积减去△AOC的面积．

解答 解：如图所示，AC⊥x轴，C（1，0），B（2，0）．
由定积分的几何意义，
$\int_1^2{\sqrt{4-{x^2}}}dx$表示扇形AOB的面积减去△AOC的面积．
∴$\int_1^2{\sqrt{4-{x^2}}}dx$=$\frac{1}{6}×π×{2}^{2}$-$\frac{1}{2}×$2×1×$sin\frac{π}{3}$
=$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了微积分基本定理的应用、扇形与三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．