Question

11．已知焦点在x轴上的椭圆方程为$\frac{x^2}{4a}+\frac{y^2}{{{a^2}+1}}=1$，随着a的增大该椭圆的形状（　　）

• A． 越接近于圆
• B． 越扁
• C． 先接近于圆后越扁
• D． 先越扁后接近于圆

Answer 1

分析 首先根据椭圆成立的条件求出a的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆中的离心率的变化规律，最后确定结果．

解答 解：由$\frac{x^2}{4a}+\frac{y^2}{{{a^2}+1}}=1$，表示焦点在x轴上的椭圆，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{{a}^{2}+1＞0}\\{4a＞{a}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得：2-$\sqrt{3}$＜a＜2+$\sqrt{3}$，
由于a在不断的增大，所以对函数y=a²+1，（2-$\sqrt{3}$＜a＜2+$\sqrt{3}$）为单调递增函数，
即短轴中的b²在不断增大．离心率e=$\sqrt{\frac{4a-{a}^{2}-1}{4a}}$，（2-$\sqrt{3}$＜a＜2+$\sqrt{3}$），
令f（a）=4a-a²-1，（2-$\sqrt{3}$＜a＜2+$\sqrt{3}$），
由二次函数性质可知，（2-$\sqrt{3}$，2）单调递增，（2，2+$\sqrt{3}$）单调递减，
∴e随着a的增加，先增加后减小，
∴随着a的增大该椭圆先越扁后接近于圆，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程，椭圆中a、b、c与椭圆离心率的关系及二次函数的性质的应用．属于基础题．