Question

如图，平面ABC⊥平面DBC，已知AB=AC，BC=6，∠BAC=∠DBC=90°，∠BDC=60° 
（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值；
（3）记经过直线AD且与BC平行的平面为α，求点B到平面α的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出CA⊥AB，BD⊥平面ABC，从而得到CA⊥BD，进而得到CA⊥平面ABD，由此能证明平面ABD⊥平面ACD．
（2）取BC中点O，连结AO，以O为原点，过O平行于BD的直线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CD-B的余弦值．
（3）求出平面α的法向量，利用向量法能求出点B到平面α的距离．

解答： （本题满分15分）
（1）证明：∵平面ABC⊥平面DBC，∠BAC=∠DBC=90°，
∴CA⊥AB，BD⊥平面ABC，
∵CA?面ABC，∴CA⊥BD，（3分）
∴CA⊥平面ABD，
∵CA?平面ACD，平面ABD⊥平面ACD．（5分）
（2）解：取BC中点O，连结AO，
∵AB=AC，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面DBC，∴AO⊥平面BDC，
以O为原点，过O平行于BD的直线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵BC=6，∠BAC=∠DBC=90°，∠BDC=60°，
∴OA=OB=OC=3，BD=2

3

，
∴C（0，-3，0），D（2

3

，3，0），A（0，0，3），
∴

AC

=(0，-3，-3)，

AD

=(2

3

，3，-3)，
设平面ACD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AC =-3y-3z=0 n • AD =2 3 x+3y-3z=0

，取y=

3

，得

n

=（-3，

3

，-

3

），（8分），
由题意知平面BCD的法向量

m

=(0，0，1)，（9分），
∴cos＜

n

，

m

＞=

- 3

9+3+3

=-

5

5

，
∴二面角A-CD-B的平面角的余弦值是

5

5

．（10分）
（3）解：∵C（0，-3，0），B（0，3，0），A（0，0，3），D（2

3

，3，0），
∴

CB

=(0，6，0)，

AD

=(2

3

，3，-3)，

AB

=(0，3，-3)．
设平面α的法向量

p

=(a，b，c)，
则

p • CB =6b=0 p • AD =2 3 a+3b-3c=0

，取a=

3

，得

p

=(

3

，0，2)，（13分），
∴点B到平面α的距离d=

| p • AB |

| p |

=

|-6|

7

=

6 7

7

．（15分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．