Question

8．已知{a_n}是由正数组成的等比数列，a₂=2，且a₄，3a₃，a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n+1-λa_n}的前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系求出公比即可，
（2）根据等比数列的求和公式利用分组法求出S_n的值，利用对比法进行求解即可．

解答 解：（1）∵a₂=2，且a₄，3a₃，a₅成等差数列．
∴a₄+a₅=2×3a₃，
即qa₃+q²a₃=6a₃，
即q²+q-6=0，得q=2或q=-3，
∵{a_n}是由正数组成的等比数列，
∴q＞0，
即q=2，则a_n=a₂q^n-2=2•2^n-2=2^n-1．
（2）∵数列{a_n+1-λa_n}的前n项和为S_n，
∴S_n=（a₂+a₃+a₄+…+a_n+1）-λ（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-λ•$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2（2ⁿ-1）-λ（2ⁿ-1）=（2ⁿ-1）（2-λ），
若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
∴S_n=2ⁿ-1=（2ⁿ-1）（2-λ），
则2-λ=1，则λ=1．

点评 本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算，根据方程组法求出公比是解决本题的关键．