Question

17．已知a•$\sqrt{{b}^{2}+1}$=4，则a²+2b²的最小值为8$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 由条件可得a²（2b²+2）=32，运用基本不等式求得a²+（2b²+2）的最小值8$\sqrt{2}$，即可得到所求最小值．

解答 解：a•$\sqrt{{b}^{2}+1}$=4，可得：
a²（b²+1）=16，
即a²（2b²+2）=32，
则a²+（2b²+2）≥2$\sqrt{{a}^{2}（2{b}^{2}+2）}$=2$\sqrt{32}$=8$\sqrt{2}$，
当且仅当a²=2b²+2=4$\sqrt{2}$，取得等号，
可得a²+2b²的最小值为8$\sqrt{2}$-2．
故答案为：8$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查最值的求法，注意运用变形和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．