Question

18．正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，H为底面ABCD的中心，以PH为直径的球O分别与PA，PB，PC交于A′，B′，C′，D′，若球O的表面积为3π，则四边形A′B′C′D′的面积等于$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 如图所示，过点A，P，C作证四棱锥与球的截面，并连接A′H，则A′H⊥PA，∠APH=30°，利用球O的表面积为3π，求出球的半径，再求出A′H′，B′D′，即可求出四边形A′B′C′D′的面积．

解答 解：如图所示，过点A，P，C作证四棱锥与球的截面，并连接A′H，则A′H⊥PA，∠APH=30°，
∵球O的表面积为3π，
∴4πR²=3π，
∴PH=2R=$\sqrt{3}$．
△PA′H′中，PA′=PHcos30°=$\frac{3}{2}$，
△PA′H′中，A′H′=PA′sin30°=$\frac{3}{4}$，∴A′C′=$\frac{3}{2}$，
∴正方形A′B′C′D′的面积S=2×$\frac{1}{2}×A′H′×B′D′$=$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查四边形A′B′C′D′的面积，考查球的表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．