Question

已知数列{a_n}满足a_n≠0，a₁=

1

3

，a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：(

1

an

)是等差数列；
（2）证明：a₁²+a₂²+…+a_n²＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）通过已知条件推出

1

an

-

1

an-1

=2，即可判断(

1

an

)是等差数列；
（2）利用放缩法以及裂项法求解数列的和，即可证明a₁²+a₂²+…+a_n²＜

1

4

．

解答： 证明：（1）∵a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2）
∴

1

an

-

1

an-1

=2（n≥2）
∴{

1

an

}是以3为首项，2为公差的等差数列．…（6分）
（2）由（1）知：

1

an

=3+(n-1)•2=2n+1
∴an=

1

2n+1

…（8分）
∴an2=

1

(2n+1)2

＜

1

4n2+4n

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴a12+a22+…+an2＜

1

4

(

1

1

-

1

2

)+

1

4

(

1

2

-

1

3

)+…+

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)＜

1

4

(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，等差数列的判断，放缩法以及裂项法的应用，考查分析问题解决问题的能力．