Question

19．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P为矩形内部一点，且AP=1．若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），则2λ+$\sqrt{3}$μ的最大值是2．

Answer 1

分析 画出图形，根据题意知λ，μ＞0，根据条件对$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$两边平方，进行数量积的运算化简，再利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而求出2λ+$\sqrt{3}$μ的最大值．

解答 解：如图所示，依题意知，λ＞0，μ＞0；
根据条件，
${\overrightarrow{AP}}^{2}$=λ²${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2λμ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+μ²${\overrightarrow{AD}}^{2}$=4λ²+μ²=1；
令λ=$\frac{1}{2}$cosθ，μ=sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以2λ+$\sqrt{3}$μ=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）；
所以当θ=$\frac{π}{3}$时，sin（θ+$\frac{π}{6}$）=1，此时2λ+$\sqrt{3}$μ取得最大值2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了转化思想以及计算能力的应用问题，是基础题目．