Question

14．已知函数f（x）=2ax-$\frac{1}{x^2}$，x∈（0，1]．若函数f（x）在（0，1]上是增函数，则实数a的取值范围是a≥-1．

Answer 1

分析 求导数，函数f（x）在（0，1]上是增函数，f′（x）=2a+$\frac{2}{{x}^{3}}$≥0在（0，1]上恒成立，分离参数求最值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意，∵f（x）=2ax-$\frac{1}{x^2}$，
∴f′（x）=2a+$\frac{2}{{x}^{3}}$，
∵函数f（x）在（0，1]上是增函数，
∴f′（x）=2a+$\frac{2}{{x}^{3}}$≥0在（0，1]上恒成立，
∴2a≥-$\frac{2}{{x}^{3}}$在（0，1]上恒成立，
∴2a≥-2，
∴a≥-1．
故答案为：a≥-1．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离参数法求参数的取值范围，是中档题．