Question

11．已知函数f（x）=（log₄x-1）（log₂x-1）．
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若x∈[8，16]不等式$f（x）≥\frac{m}{{{{log}_4}x}}$恒成立，求m有取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=（log₄x-1）（log₂x-1）=$（\frac{1}{2}lo{g}_{2}x-1）$（log₂x-1），x∈[2，4]，令t=log₂x∈[1，2]，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．
（2）x∈[8，16]，可得log₄x＞0，不等式$f（x）≥\frac{m}{{{{log}_4}x}}$恒成立?m≤（log₄x-1）（log₂x-1）log₄x．利用对数函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=（log₄x-1）（log₂x-1）=$（\frac{1}{2}lo{g}_{2}x-1）$（log₂x-1），
∵x∈[2，4]，令t=log₂x∈[1，2]，
∴f（t）=$（\frac{1}{2}t-1）（t-1）$=$\frac{1}{2}{t}^{2}$-$\frac{3}{2}t$+1=$\frac{1}{2}（t-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，
∴函数f（t）在$[1，\frac{3}{2}]$上单调递减；在$[\frac{3}{2}，2]$上单调递增．
∴f（t）_min=-$\frac{1}{8}$，f（t）_max=f（1）=f（2）=0．
（2）∵x∈[8，16]，∴log₄x＞0，
∴不等式$f（x）≥\frac{m}{{{{log}_4}x}}$恒成立?m≤（log₄x-1）（log₂x-1）log₄x．
log₄-1≥log₄8-1=$\frac{1}{2}$，log₂x-1≥log₄8-1=2，
log₄x≥log₄8=$\frac{3}{2}$．
∴（log₄x-1）（log₂x-1）log₄x≥$\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，当且仅当x=8时取等号．
∴$m≤\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、二次函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．