Question

1．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的右焦点F₂向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，取右焦点F（c，0），渐近线y=$\frac{b}{a}$x．求出直线F₂P的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），由方程联立求出P，Q的坐标，利用坐标表示$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$和$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，由$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，可得c²=3a²，利用双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：如图所示，
取右焦点F₂（c，0），渐近线y=$\frac{b}{a}$x．
∵QF₂⊥OP，
∴可得直线F₂P的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
令$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-a）}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}}\\{y=-\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=（-$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}-{c}^{2}}$，$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$）
∴$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\frac{{b}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$）．
又$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
c²=3a²，
∴该双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质，考查了平面向量的应用，是中档题．