Question

已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（

π

3

，0）
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=[f（x）]²-2，求当x∈（

π

4

，

2π

3

）时，函数g（x）的值域；
（3）若g（

a

2

）=-

3

4

（

π

6

＜a＜

2π

3

），求cos（α+

3π

2

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）把点（

π

3

，0）代入解析式，求出a的值；
（2）先利用两角差的正弦公式化简f（x），代入g（x）利用二倍角公式化简，由x的范围求出2x-

2π

3

的范围，利用余弦函数的性质求出g（x）的值域；
（3）代入解析式化简g（

a

2

）=-

3

4

，由α的范围和平方关系求出sin(α-

2π

3

)的值，利用两角和的正弦公式求出sinα的值，利用诱导公式化简cos（α+

3π

2

）后即可求值．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（

π

3

，0），
所以sin

π

3

+acos

π

3

=0，解得a=-

3

；
（2）由（1）可得，f（x）=sinx-

3

cosx=2sin(x-

π

3

)，
所以g（x）=[f（x）]²-2=4sin2(x-

π

3

)-2
=4×

1-cos(2x- 2π 3 )

2

-2=-2cos(2x-

2π

3

)，
由x∈（

π

4

，

2π

3

）得，2x-

2π

3

∈（-

π

6

，

2π

3

），
则-

1

2

＜cos(2x-

2π

3

)≤1，所以-2≤-2cos(2x-

2π

3

)＜1，
则函数g（x）的值域：[-2，1）；
（3）因为g（

a

2

）=-

3

4

，所以-2cos(α-

2π

3

)=-

3

4

，即cos(α-

2π

3

)=

3

8

，
因为

π

6

＜a＜

2π

3

，所以-

π

2

＜α-

2π

3

＜0，
则sin(α-

2π

3

)=-

1-cos2(α- 2π 3 )

=-

61

8

，
所以sinα=sin[（α-

2π

3

）+

2π

3

]=sin（α-

2π

3

）cos

2π

3

+cos（α-

2π

3

）sin

2π

3

=-

61

8

×（-

1

2

）+

3

8

×

3

2

=

3+ 61

16

，
则cos（α+

3π

2

）=sinα=

3+ 61

16

．

点评：本题考查三角恒等变换的公式，平方关系、三角函数值的符号的应用，以及余弦函数的性质，注意角之间的关系和角的范围，属于中档题．