Question

2．如图，三棱柱ABC一A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁中点，F在AB上，且CF⊥AB，AC=BC=1，AA₁=3．
（I）求证：CF∥平面AEB₁；
（Ⅱ）求平面ABC与平面AB₁E所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB₁的中点G，连接EG，FG，由已知得四边形FGEC是平行四边形，由此能证明CF∥平面AB₁E．
（Ⅱ）利用面积比，求出平面ABC与平面AB₁E所成的锐二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AB₁的中点G，连接EG，FG，
因为F在AB上，且CF⊥AB，AC=BC，
所以F是AB的中点，
因为F，G分别是AB，AB₁的中点，
所以FG∥BB₁，FG=$\frac{1}{2}$BB₁，
因为E为侧棱CC₁的中点，所以FG∥EC，FG=EC，
所以四边形FGEC是平行四边形，则CF∥EG，
因为CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
所以CF∥平面AB₁E．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得AB₁=$\sqrt{9+1+1}$=$\sqrt{11}$，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${S}_{△A{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{11}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{22}}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴平面ABC与平面AB₁E所成的锐二面角的余弦值=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{22}}{4}}$=$\frac{\sqrt{22}}{11}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查平面ABC与平面AB₁E所成的锐二面角的余弦值，考查推理证明与运算能力，属于中档题．