Question

11．已知f（x）=3|x+2|-|x-4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）设m，n，k为正实数，且m+n+k=f（0），求证：mn+mk+nk≤$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （I）f（x）=3|x+2|-|x-4|．对x分类讨论：当x＜-2时；当-2≤x≤4时；当x＞4时，即可得出不等式的解集．
（II）由m+n+k=f（0）=2，m，n，k为正实数，平方展开可得：m²+n²+k²+2mn+2mk+2nk=4，m²+n²+k²=4-2（mn+mk+nk），利用重要不等式的性质可得：m²+n²+k²≥mn+nk+mk，代入解出即可得出．

解答 解：（I）∵f（x）=3|x+2|-|x-4|．
当x＜-2时，-3（x+2）+（x-4）＞2，解得x＜-6．
∴x＜-6
当-2≤x≤4时，3（x+2）+（x-4）＞2，解得x＞0，
∴0＜x≤4．
当x＞4时，3（x+2）-（x-4）＞2，解得x＞-4，
∴x＞4．
综上可得：不等式的解集是{x|x＜-6，或x＞0}．
证明：（II）m+n+k=f（0）=2，m，n，k为正实数，
∴（m+n+k）²=4，展开可得：m²+n²+k²+2mn+2mk+2nk=4，
∴m²+n²+k²=4-2（mn+mk+nk），
∵m²+n²≥2mn，m²+k²≥2mk，n²+k²≥2nk，
∴m²+n²+k²≥mn+nk+mk，
∴4-2（mn+mk+nk）≥mn+nk+mk，
∴mn+mk+nk$≤\frac{4}{3}$，当且仅当m=n=k=$\frac{2}{3}$时取等号．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、重要不等式应用、乘法公式、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．