Question

14．已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+2）是奇函数，且$\frac{1}{f′（x）}$＞2，则不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1的解集是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （2，+∞）
• C． （0，2）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 确定f（2）=0，令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，则g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，函数在R上单调递减，即可求出不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1的解集．

解答 解：∵f（x+2）是奇函数，
∴f（x）关于（2，0）对称，f（2）=0
∵$\frac{1}{f′（x）}$＞2，
∴0＜f′（x）＜$\frac{1}{2}$．
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
则g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，函数在R上单调递减，
∵g（2）=f（2）-1=-1，
∴不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$x-1可化为g（x）＞g（2），
∴x＜2，
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．