Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若AB=BC=2EF=2，BD与平面BCF成30°的角，求二面角F-BD-C的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由四边形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能证明AB∥EF．
（Ⅱ）过点D作DG⊥CF，则DG⊥面BCF，可得∠DBG为BD与平面BCF所成角；取DC中点M，连接FM，则FM⊥面ABCD，过M作MN⊥BD交BD于点N，连接FN，则∠FNM即为二面角F-BD-C的平面角，即可求出二面角F-BD-C的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB∥CD，CD?面CDEF，AB?面CDEF，
∴AB∥面CDEF．
又∵AB?面ABEF，面ABEF∩面CDEF=EF，
∴AB∥EF；
（Ⅱ）解：∵DE⊥面ABCD，∴DE⊥BC．
又∵BC⊥CD，∴BC⊥面CDEF．
又∵BC?面BCF，∴面BCF⊥面CDEF．
过点D作DG⊥CF，则DG⊥面BCF，∴∠DBG为BD与平面BCF所成角．即∠DBG=30°
又BD=2

2

，∴DG=BD•sin30°=

2

，则DE=1且点G与点F重合．
取DC中点M，连接FM，则FM⊥面ABCD，
过M作MN⊥BD交BD于点N，连接FN，则∠FNM即为二面角F-BD-C的平面角，
∴tan∠FNM=

FM

MN

=

1

2 2

=

2

点评：本题考查直线平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查线面角、面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．