题目内容
设不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若x∈M，|y|≤
，|z|≤
，求证：|x+2y-3z|≤
．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若x∈M，|y|≤
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考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法
专题：不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得M．
（Ⅱ）由条件利用绝对值不等式的性质可证得不等式．
（Ⅱ）由条件利用绝对值不等式的性质可证得不等式．
解答：
解：（Ⅰ）根据绝对值的意义，|x+1|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-1、1对应点的距离之和，
它的最小值为2，
故不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集为M=[-1，1]．
（Ⅱ）∵x∈M，|y|≤
，|z|≤
，
∴|x+2y-3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2×
+3×
=
，
∴：|x+2y-3z|≤
成立．
它的最小值为2，
故不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集为M=[-1，1]．
（Ⅱ）∵x∈M，|y|≤
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∴|x+2y-3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2×
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∴：|x+2y-3z|≤
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点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于基础题．
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