Question

18．△ABC中，E是边AC的中点，$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{BD}$．
（1）若$\overrightarrow{DE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，求x，y的值；
（2）已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，求$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$．再根据$\overrightarrow{DE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，求得x 和y的值．
（2）由题意可得$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$ ）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），再利用两个向量的数量积的定义，计算求的结果．

解答 解：（1）△ABC中，E是边AC的中点，$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{BD}$，故点D是BC的四等分点，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$．
若$\overrightarrow{DE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则x=-$\frac{3}{4}$，y=$\frac{1}{4}$．
（2）∵已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$ ）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{4}$•${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{3}{4}$•${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}•16$+$\frac{3}{4}•4$-2•4•cos60°=3．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于中档题．