Question

13．已知f（x）=x²-2ax-1（a＞0）．
（1）当a=1时，求|f（x）|在区间[0，2]内的最大值；
（2）设|f（x）|在区间[0，2]内的最大值为M（a），求M（a）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，函数y=|f（x）|=|x²-2x-1|，可得函数在[0，1]递增，[1，2]递减，即有x=1取得最大值；
（2）由|f（x）|=|（x-a）²-1-a²|，可得函数|f（x）|在[0，a]递增，在[a，a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$]递减，在（a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$，+∞）递增．对a讨论，分当a≥2时，$\frac{3}{4}$≤a＜2时，$\sqrt{6}$-2≤a＜$\frac{3}{4}$时，0＜a＜$\sqrt{6}$-2时，讨论单调性，可得最大值，再由一次函数和二次函数的单调性，可得值域．

解答 解：（1）当a=1时，函数y=|f（x）|=|x²-2x-1|，
可得函数在[0，1]递增，[1，2]递减，
即有x=1时，函数取得最大值，且为2；
（2）由|f（x）|=|（x-a）²-1-a²|，
可得函数|f（x）|在[0，a]递增，在[a，a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$]递减，
在（a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$，+∞）递增．
当a≥2时，|f（x）|的最大值为|f（2）|=|3-4a|=4a-3；
当a＜2≤a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$，即$\frac{3}{4}$≤a＜2时，可得x=a时，取得最大值1+a²；
由a²+1=（x-a）²-1-a²，解得x=a+$\sqrt{2+2{a}^{2}}$，
当a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$＜2≤a+$\sqrt{2+2{a}^{2}}$，即$\sqrt{6}$-2≤a＜$\frac{3}{4}$时，可得x=a时，
取得最大值1+a²；
当2＞a+$\sqrt{2+2{a}^{2}}$，即0＜a＜$\sqrt{6}$-2时，可得x=2时，取得最大值为3-4a．
综上可得，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-4a，0＜a＜\sqrt{6}-2}\\{1+{a}^{2}，\sqrt{6}-2≤a＜2}\\{4a-3，a≥2}\end{array}\right.$；
当0＜a＜$\sqrt{6}$-2时，M（a）∈（11-4$\sqrt{6}$，3）；
当$\sqrt{6}$-2≤a＜2时，M（a）∈[11-4$\sqrt{6}$，5）；
当a≥2时，M（a）∈[5，+∞）．
综上可得，M（a）的取值范围是[11-4$\sqrt{6}$，+∞）．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．