Question

7．数列{a_n}满足a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）求数列{（2n+1）a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）求得n=1，可得a₁=1；再将n换为n-1，相减即可得到所求通项；
（2）求得（2n+1）a_n=（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，可得a₁=4-3=1；
当n＞1时，a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*），
将n换为n-1，可得a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$，
两式相减，可得na_n=$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
可得a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，对n=1也成立．
综上可得，a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，n∈N^*；
（2）（2n+1）a_n=（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
则前n项和S_n=3•1+5•$\frac{1}{2}$+7•$\frac{1}{4}$+…+（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$S_n=3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{4}$+7•$\frac{1}{8}$+…+（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减，可得$\frac{1}{2}$S_n=3+2[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=3+2•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得，S_n=10-$\frac{2n+5}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．