Question

已知正项等比数列{a_n}中，a₁=1，且2a₁，a₃，3a₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（2n-1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由2a₁，a₃，3a₂成等差数列知，2a₁+3a₂=2a₃，从而解得q=2即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由已知和（1）可求出T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，做差即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
由2a₁，a₃，3a₂成等差数列知，2a₁+3a₂=2a₃，
∴2q²-3q-2=0∵a_n＞0∴q=2            …4分
（1）∵a₁=1∴a_n=2^n-1（n∈N^*）                   …6分
（2）∵b_n=（2n-1）•a_n，a_n=2^n-1（n∈N^*）
∴T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1
∴2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ        …8分
∴-T_n=1+2（2+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ
=1+2•

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）×2ⁿ
=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）×2ⁿ
=-（2n-3）×2ⁿ-3
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ+3（n∈N^*）．                …12分

点评：本题主要考察了等差数列的通项公式和前n项和T_n的求法，属于中档题．