Question

如图，在长方体中，，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：1.本题的模型是长方体，因此采用坐标法不失为一个好的选择.2.本题也可以采用几何法的方式进行求解.（Ⅰ）如图，连接，交于，可以证明四边形是平行四边形，从而，进而可以证明平面.（Ⅱ）过作于，因为底面是正方形，可以证明平面，从而即为所求角.接下来解之即可.第（Ⅱ）问也可以用等积的办法来求解．

试题解析：（Ⅰ）证明：在长方体中，

∵，，∴.

建立如图所示的空间直角坐标系，设的中点为，连接，根据题意得，，，，，，线段的中点为，线段的中点为.

∴，   .∴.

∵平面，平面，∴.

∴平面.

（Ⅱ）解：，，，

设平面的一个法向量为，根据已知得

 取，得

∴是平面的一个法向量.

 ∴.

∴直线与平面所成角的正弦值等于.

考点：空间线面位置关系、线面平行、线面角的求法.