Question

19．设命题p：“?x∈R，x²+2x＞m”；命题q：“?x₀∈R，使${x_0}^2+2m{x_0}+2-m≤0$”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：当P真时，?x∈R，x²+2x＞m，
有△=4+4m＜0，解得m＜-1．…..（2分）
当q真时，?x₀∈R，使${x_0}^2+2m{x_0}+2-m≤0$，
所以△=4m²-4（2-m）≥0，解得m≤-2，或m≥1 …..（4分）
又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以p，q一真一假，…..（6分）
当p真q假时，-2＜m＜-1…..（8分）
当p假q真时，m≥1…..（10分）
所以实数a的取值范围是（-2，-1）∪[1，+∞）．…..（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题，难度中档．