题目内容
已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q（1）求证：AC2=CQ•AB；
（2）若AQ=2AP，AB=
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考点：与圆有关的比例线段
专题：选作题,立体几何
分析：（1）证明△ACB∽△CQA，可以证明AC2=CQ•AB；
（2）先求出PC，再利用切割线定理求出QA，QD．
（2）先求出PC，再利用切割线定理求出QA，QD．
解答：
（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，
又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，
因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，
所以△ACB∽△CQA，所以
=
，
所以AC2=CQ•AB…（5分）
（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以
=
=
=
，
由AB=
，BP=2得QC=3
，PC=6，
AP为圆O的切线⇒AP2=PB•PC=12⇒QA=4
又因为AQ为圆O的切线⇒AQ2=QC•QD⇒QD=
…（10分）
又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，
因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，
所以△ACB∽△CQA，所以
| AC |
| CQ |
| AB |
| AC |
所以AC2=CQ•AB…（5分）
（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以
| BP |
| PC |
| AP |
| PQ |
| AB |
| QC |
| 1 |
| 3 |
由AB=
| 3 |
| 3 |
AP为圆O的切线⇒AP2=PB•PC=12⇒QA=4
| 3 |
又因为AQ为圆O的切线⇒AQ2=QC•QD⇒QD=
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点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判断与运用，考查切割线定理，难度中等．
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