Question

在学校组织的趣味数学知识竞赛中，甲、乙两队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，根据分组情况知除第五局甲队获胜的概率是

1

2

外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是

2

3

，假设各局比赛结果相互对立．
（1）分别求乙队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）乙队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是乙队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出乙队获得这次比赛胜利的概率；
（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答： 解：（1）乙队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是乙队胜
①3：0，概率为P₁=（

1

3

）³=

1

27

；
②3：1，概率为P₂=

C

2 3

（

1

3

）²×（1-

1

3

）×

1

3

=

2

27

；
③3：2，概率为P₃=

C

2 4

（

1

3

）²×（1-

1

3

）²×

1

2

=

4

27

，
∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：

1

27

，

2

27

，

4

27

．
（2）甲队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P₁+P₂=

3

27

；
P（X=1）=P₃=

4

27

；
P（X=2）=

C

2 4

（

2

3

）²×（1-

2

3

）²×

1

2

=

4

27

；
P（X=3）=（1-

1

3

）³+

C

1 3

（1-

1

3

）²×（

1

3

）×

2

3

=

16

27

；
则X的分布列为

X	3	2	1	0
P	16 27	4 27	4 27	3 27

E（X）=3×

16

27

+2×

4

27

+1×

4

27

+0×

3

27

=

20

9

．

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．