Question

15．已知函数f（x）=-x²+ax-b．
（1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求方程f（x）=0有根的概率．
（2）若a，b都是从区间[0，4]任取的一个数，求f（1）＞0成立时的概率．

Answer 1

分析 （1）求出事件的总数以及方程有根的事件个数，利用古典概型的公式解答即可；
（2）是几何概型的概率求法，利用区间对应的面积比求概率．

解答 解：（1）a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数为5×5=25．
方程f（x）=0有根的条件为△=a²-4b≥0，即a²≥4b
因为事件“a²≥4b”包含   （0，1），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0）（3，1），（3，2），（4，0）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共12个，
所以事件方程f（x）=0有根的概率为$\frac{12}{25}$；…..（6分）
（2）a，b都是从区间[0.4]任取的一个数，则$\left\{\begin{array}{l}0≤a≤4\\ 0≤b≤4\end{array}\right.$
f（1）=-1+a-b＞0，所以a-b＞1，
所以事件从区间[0，4]任取的一个数，求f（1）＞0成立时的概率是$\frac{\frac{1}{2}×3×3}{4×4}=\frac{9}{32}$；…..（12分）

点评 本题考查了古典概型和几何概型的概率求法；明确概率模型以及公式是关键．