Question

16．已知圆C与圆D：x²+y²-4x-2y+3=0关于直线4x+2y-5=0对称．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．
①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；
②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心坐标，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）①设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以${S_{△QPM}}=\frac{1}{2}\left|{PM}\right|•h=\sqrt{2}h$．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直；
②证明k_PM•k_AB=-1，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵x²+y²-4x-2y+3=0，
∴（x-2）²+（y-1）²=2．  …（1分）
设圆C的圆心为C（a，b），
又因为圆C与圆D关于直线4x+2y-5=0对称，
即圆心D（2，1）与（a，b）关于直线4x+2y-5=0对称．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{b-1}{a-2}•（{-2}）=-1\\ 4•\frac{a+2}{2}+2•\frac{b+1}{2}-5=0\end{array}\right.$，…（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}\right.$．     
∴圆C的方程为x²+y²=2． …（4分）
（Ⅱ）①因为点P（2，0），M（0，2），所以$\left|{PM}\right|=2\sqrt{2}$，…（5分）
设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，
所以${S_{△QPM}}=\frac{1}{2}\left|{PM}\right|•h=\sqrt{2}h$．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，
故有最大值$h=d+r=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，最大面积${S_{△QPM}}=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$，…（7分）
此时点Q坐标为点（-1，-1）．     …（8分）
②直线AB与直线PM垂直，理由如下：…（9分）
因为过点Q（-1，-1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．
设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为-k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）
$\left\{\begin{array}{l}y+1=k（x+1）\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.$⇒（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，…（10分）
又因为点Q（-1，-1）在圆C上，故有${x_A}•（-1）=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$，所以${x_A}=\frac{{-{k^2}+2k+1}}{{1+{k^2}}}$，
同理${x_B}=\frac{{-{k^2}-2k+1}}{{1+{k^2}}}$，…（11分）        
${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_B}+1）-1-k（{x_A}+1）+1}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_B}+{x_A}）-2k}}{{{x_B}-{x_A}}}=1$，…（12分）
又${k_{PM}}=\frac{2-0}{0-2}=-1$，所以有k_PM•k_AB=-1，
故直线AB与直线PM垂直． …（13分）

点评 本题考查求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，直线和圆相交的性质，判断两直线垂直的方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．