Question

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（1）

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9          
（2）ab+bc+ac≤

1

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

），利用基本不等式，即可证明；
（2）利用基本不等式可知a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，从而可得a²+b²+c²≥ab+ac+bc；再利用（a+b+c）²=1，即可证得结论．

解答： 证明：（1）∵a+b+c=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

），
∵a、b、c均为正数，
∴

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，
代入上式，得

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9          
（2）∵a，b，c均为正数，
∴a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac，
b²+c²≥2bc，
以上三式累加得：2（a²+b²+c²）≥2（ab+ac+bc），
∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤

1

3

（当且仅当a=b=c=

1

3

时取“=”）．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，考查分析转化与推理证明能力，属于中档题．