Question

18．已知在直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=1，把圆O的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到轨迹方程为C．
（1）以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系下，直线l为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求曲线C与直线l交点的直角坐标；
（2）若直线l₁经过点Q（2，1），直线l₁与曲线C交于A，B两点，求点Q到A，B两点的距离之积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设圆O上一点P（x₀，y₀），曲线C上一点P'（x，y），由题意可得，x=2x₀，y=y₀，代入圆方程，可得轨迹C的方程．由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直线的极坐标方程可得直角坐标方程，代入曲线C的方程，解方程可得交点坐标；
（2）设出直线l₁的参数方程，代入曲线C的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，以及同角的平方关系及正弦函数的值域，计算即可得到所求最小值．

解答 解：（1）设圆O上一点P（x₀，y₀），曲线C上一点P'（x，y），
由题意可得，x=2x₀，y=y₀，即x₀=$\frac{1}{2}$x，y₀=y，
代入x₀²+y₀²=1，可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
由直线l为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即为$\frac{1}{2}$ρcosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，即有直线l的方程为x-$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3}$，
将x=$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$代入曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得7y²+6y-1=0，
解得y₁=-1，y₂=$\frac{1}{7}$，
可得交点坐标为（0，-1），（$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，$\frac{1}{7}$）；
（2）直线l₁经过点Q（2，1），
可设直线l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得
（2+tcosα）²+4（1+tsinα）²=4，
化为t²（cos²α+4sin²α）+t（4cosα+8sinα）+4=0，
即有t₁t₂=$\frac{4}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$，
由参数的几何意义可得，
|QA|•|QB|=$\frac{4}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}$，
当sinα=1，即倾斜角α=90°时，取得最小值1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及直线和曲线的交点的求法，同时考查直线的参数方程的运用，注意运用联立方程组，运用韦达定理和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．