Question

已知函数f（x）=lg

1-x

1+x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并加以证明；
（2）若a，b∈（-1，1），求证：f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）确定函数的定义域，利用奇函数的定义进行证明；
（2）利用a，b∈（-1，1），f（x）=lg

1-x

1+x

，结合对数的运算，即可证明结论．

解答： （1）解：由

1-x

1+x

＞0，可得函数的定义域为（-1，1）．
∵f（x）=lg

1-x

1+x

，
∴f（x）+f（-x）=lg

1-x

1+x

+lg

1+x

1-x

=lg1=0，
∴函数f（x）是奇函数；
（2）证明：∵a，b∈（-1，1），f（x）=lg

1-x

1+x

，
∴f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

(1-a)(1-b)

(1+a)(1+b)

=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=f（a）+f（b）．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查对数的运算性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．