Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a+1）x+lnx，a∈R．
（1）若0＜a＜1，求f（x）的单调区间；
（2）若a=0，且f（x₁）=f（x₂），x₁＞x₂，求证：x₁•x₂＜1．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；
（2）设$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$=t＞1，则原命题等价于lnt＜$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），t＞1．构造函数，确定单调性，即可证明结论．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，
x∈（0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增；
x∈（1，$\frac{1}{a}$），f′（x）＜0，函数单调递减；
（2）证明：∵f（x₁）=f（x₂），
∴lnx₁-x₁=lnx₂-x₂，
∴$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
x₁•x₂＜1等价于$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜1．
设$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$=t＞1，则原命题等价于lnt＜$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），t＞1．
令g（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），t＞1．
g′（t）=$\frac{-{t}^{2}+2t-1}{2{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（t）＜g（1）=0，即lnt＜$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），
∴x₁•x₂＜1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确运用导数是关键．