Question

4．如图，AB为圆O的直径，P是AB延长线上一点，割线PCD交圆O于C，D两点，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（1）证明：F、E、C、D四点共圆；
（2）若AP=10，BP=2，CP=3，求sin∠DPF的值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由对应角相等可得△ADB∽△APF，由相似三角形的性质和四点共圆的判定：对角互补，即可得证；
（2）由圆的割线定理可得，PB•PA=PC•PD，结合条件求得PD，OD，连接OD，在△POD中运用余弦定理，可得cos∠DPO，再由诱导公式即可得到所求值．

解答 解：（1）证明：连接BD，
由AB为直径，可得∠ADB=90°，
由∠APF=∠ADB=90°，
且∠DAB=∠PAF，
可得△ADB∽△APF，
即有∠ABD=∠AFP，
又∠ACD=∠ABD，
可得∠ACD=∠AFP，
即∠DCE+∠DFE=180°，
可得F、E、C、D四点共圆；
（2）AP=10，BP=2，CP=3，
由圆的割线定理可得，PB•PA=PC•PD，
即为2×10=3PD，
即PD=$\frac{20}{3}$．
PA=PB+AB，即AB=PA-PB=10-2=8．
可得OD=4，
连接OD，在△POD中，PO=6，PD=$\frac{20}{3}$，OD=4，
由余弦定理可得cos∠DPO=$\frac{P{D}^{2}+P{O}^{2}-O{D}^{2}}{2PD•PO}$
=$\frac{\frac{400}{9}+36-16}{2×\frac{20}{3}×6}$=$\frac{29}{36}$．
则sin∠DPF=sin（90°-∠DPO）=cos∠DPO=$\frac{29}{36}$．

点评 本题考查圆的割线定理和相似三角形的判定和性质，考查四点共圆的判定，注意运用对角互补，考查推理能力和运算能力，属于中档题．