Question

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切，过点F₂的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若$\overrightarrow{MF_2}$=3$\overrightarrow{F_2N}$，求直线l的方程；
（3）求△F₁MN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和直线与相切的条件：d=r，结合a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；
（2）求得右焦点，设出M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线l：x=my+$\sqrt{3}$，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而得到直线的方程；
（3）运用弦长公式和换元法，运用三角形的面积公式可得S=$\frac{1}{2}$•2c•|y₁-y₂|，化简整理运用基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由直线x-y+$\sqrt{2}$=0与圆x²+y²=b²相切，可得
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=b=1，
又a²-c²=1，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）F₂（$\sqrt{3}$，0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设直线l：x=my+$\sqrt{3}$，代入椭圆方程可得，
（4+m²）y²+2$\sqrt{3}$my-1=0，
y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{3}m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{4+{m}^{2}}$，
由$\overrightarrow{MF_2}$=3$\overrightarrow{F_2N}$，可得y₁=-3y₂，
解方程可得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有直线l的方程为x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\sqrt{3}$；
（3）△F₁MN面积为S=$\frac{1}{2}$•2c•|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{12{m}^{2}}{（4+{m}^{2}）^{2}}+\frac{4}{4+{m}^{2}}}$=$\sqrt{3}$•$\frac{4\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+{m}^{2}}$，
令1+m²=t（t≥1），则S=4$\sqrt{3}$•$\frac{1}{\sqrt{t}+\frac{3}{\sqrt{t}}}$≤4$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=2，
当t=3，即m=±$\sqrt{2}$时，S取得最大值，且为2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相切的条件，考查向量共线的坐标表示，以及直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．