Question

13．已知P为抛物线y²=4x上一个动点，Q为圆x²+（y-4）²=1上一个动点，当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小时，P点的横坐标为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}}{8}$
• B． $\frac{9-\sqrt{17}}{8}$
• C． $\frac{9}{8}$
• D． $\sqrt{17}$

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，求出直线FC的方程与抛物线方程联立求解即可．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），圆x²+（y-4）²=1的圆心为C（0，4），
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，
进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，
此时直线FC的方程为：4x+y-4=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{4x+y-4=0}\end{array}\right.$，消去y，可得4x2-9x+4=0，解得x=$\frac{9-\sqrt{17}}{8}$，x=$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$（舍去）
故选：B．

点评 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．