Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），从6张大小相同，分别标有号码1，2，3，4，5，6的卡片中有放回地抽取两张，x、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码．
（Ⅰ）求满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1的概率；
（Ⅱ）求满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设（x，y）表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有36个，用事件A表示“满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1”，由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，得x-2y=-1，利用列举法示出事件A包含的基本事件的个数，由此能法出满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1的概率．
（2）用事件B表示“满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0”，由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，得x-2y＞0，利用列举法求出事件B包含的基本事件的个数，由此能求出满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0的概率．

解答 解：（Ⅰ）设（x，y）表示一个基本事件，
则两次抽取卡片的所有基本事件有36个，分别为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
用事件A表示“满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1”，
∵$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，∴x-2y=-1，
∴事件A包含的基本事件有：（1，1），（3，2），（5，3），共3个，
∴满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1的概率P（A）=$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$．
（2）用事件B表示“满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0”，
∵满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，∴x-2y＞0，
∴事件B包含的基本事件有：（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（5，2），（6，2），共有6个，
∴满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0的概率P（B）=$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查概率的求法，涉及到向量的数量积、等可能事件概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．