Question

8．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长均为2，A₁B=$\sqrt{6}$，A₁B⊥AC．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥B₁C；
（Ⅱ）求直线AC和平面ABB₁A₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点O，连结A₁O，BO，推导出BO⊥AC，A₁B⊥AC，从而AC⊥面A₁BO，连结AB₁，交A₁B于点M，连结OM，则B₁C∥OM，从而AC⊥OM，由A₁C₁∥AC，能证明A₁C₁⊥B₁C．
（Ⅱ）由A₁B⊥AB₁，A₁B⊥AC，得A₁B⊥面AB₁C，从而面AB₁C⊥面ABB₁A₁，推导出AC在平面ABB₁A₁的射影为AB₁，从而∠B₁AC为直线AC和平面ABB₁A₁所成的角，由此能求出直线AC和平面ABB₁A₁所成角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AC中点O，连结A₁O，BO，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长均为2，∴BO⊥AC，
∵A₁B⊥AC，A₁B∩BO=B，A₁B?面A₁BO，BO?面A₁BO，
∴AC⊥面A₁BO，
连结AB₁，交A₁B于点M，连结OM，则B₁C∥OM，
又∵OM?面A₁BO，∴AC⊥OM，
∵A₁C₁∥AC，A₁C₁⊥B₁C．
解：（Ⅱ）∵A₁B⊥AB₁，A₁B⊥AC，∴A₁B⊥面AB₁C，
∴面AB₁C⊥面ABB₁A₁，
∵面AB₁C∩面ABB₁A₁=AB₁，∴AC在平面ABB₁A₁的射影为AB₁，
∴∠B₁AC为直线AC和平面ABB₁A₁所成的角，
∵AB₁=2AM=2$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴在 Rt△ACB₁中，cos$∠{B}_{1}AC=\frac{AC}{A{B}_{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直线AC和平面ABB₁A₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．