Question

6．已知圆C：（x-2）²+y²=9，直线l：x+y=0．
（1）求过圆C的圆心且与直线l垂直的直线n的方程；
（2）求与圆C相切，且与直线l平行的直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线n的方程为x-y+b=0，利用直线n过圆C的圆心（2，0），求出b，可得直线方程；
（2）由两直线平行时斜率相等，根据直线l方程设所求切线方程为x+y+c=0，由直线与圆相切时，圆心到切线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，即可确定出直线m的方程．

解答 解：（1）设直线n的方程为x-y+b=0                       …（2分）
∵直线n过圆C的圆心（2，0），所以2-0+b=0，∴b=-2
∴直线n的方程为x-y-2=0                         …（4分）
（2）∵直线m∥直线x+y=0，
∴设m：x+y+c=0，
∵直线m与圆C相切，
∴3=$\frac{|2+0+c|}{\sqrt{2}}$，
解得：c=-2±3$\sqrt{2}$，
得直线m的方程为：x+y-2+3$\sqrt{2}$=0或x+y-2-3$\sqrt{2}$=0．…（8分）

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线平行、垂直时斜率满足的关系，以及圆的标准方程，属于中档题．