Question

19．（1）已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的单调减区间为[-1，2]，求b，c的值；
（2）设f（x）=ax³+x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=x³+bx²+cx+d的单调减区间为[-1，2]，可得f′（x）=3x²+2bx+c≤0的解集是[-1，2]，利用根与系数的关系即可得出；
（2）求出f′（x），得到f′（x）=3ax²+1=0有两个不相等的实数根，故可求得结论．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函数f（x）=x³+bx²+cx+d的单调减区间为[-1，2]，
∴f′（x）=3x²+2bx+c≤0的解集是[-1，2]，
∴-1，2是3x²+2bx+c=0的两个实数根．
∴-1+2=-$\frac{2b}{3}$，-1×2=$\frac{c}{3}$．
解得：b=-$\frac{3}{2}$，c=-6．
（2）若f（x）恰好有三个单调区间，
则f′（x）=3ax²+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=0-12a＞0，解得：a＜0，
故a的范围是（-∞，0）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．