Question

4．函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），对任意的x∈R，总有f（-x）+f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜$\frac{x}{2}$，若f（4-m）-f（m）≥4-2m，则实数m的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}$x²，求出函数的奇偶性和单调性，问题转化为g（4-m）≥g（m），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}$x²，
g′（x）=f′（x）-$\frac{x}{2}$，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜$\frac{x}{2}$，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
而g（-x）=f（-x）-$\frac{1}{4}$x²，
∴f（-x）+f（x）=g（-x）+$\frac{1}{4}$x²+g（x）+$\frac{1}{4}$x²=$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∴g（-x）+g（x）=0，
∴g（x）是奇函数，g（x）在R递减，
若f（4-m）-f（m）≥4-2m，
则f（4-m）-$\frac{1}{4}$（4-m）²≥f（m）-$\frac{1}{4}$m²，
∴g（4-m）≥g（m），
∴4-m≤m，解得：m≥2，
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，是一道中档题．