Question

10．已知四棱锥A-BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为$\sqrt{2}$，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．
（Ⅱ））由CD⊥平面ABC，是∠CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．

解答 （本小题满分12分
证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，
∵F、G分别是AD、AC的中点，
∴FG∥CD，且$FG=\frac{1}{2}CD$．
又∵CD∥BE，且CD=2BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，EF?面ABC且BG⊆面ABC，
∴EF∥面ABC．…（5分）

（Ⅱ））∵CD⊥平面ABC
∴∠CMD为DM与平面ABC所成角，
∵M为AB的中点，且AC=BC=2，AC⊥BC，得$CM=\sqrt{2}$
∵DM与平面ABC所成角的正切值为$\sqrt{2}$，
∵CD=2，BE=1，…（7分）
以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标，
则B（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1），
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{AE}$=（2，-1，0），
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，2），
而平面ACD的法向量为$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），
由cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{1}{3}$，
得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考百二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．