Question

7．已知函数f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx（a∈R且a≠0）
（1）当a=3时，求函数的单调区间；
（2）函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（2）讨论函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增或递减函数，即f′（x）≥（≤）0在区间[1，2]上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

解答 解：（1）a=3时，f（x）=x-2x²+lnx，（x＞0），
f′（x）=1-4x+$\frac{1}{x}$=$\frac{-{4x}^{2}+x+1}{x}$，
令g（x）=-4x²+x+1，（x＞0），
由g（x）=0，解得：x=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）递减，在（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，+∞）递增；
（2）f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$，
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调增函数，
则x∈[1，2]时，f′（x）≥0恒成立．
即 $\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
所以$\frac{3}{a}$≥h（2），即$\frac{3}{a}$≥$\frac{15}{2}$，
解得0＜a≤$\frac{2}{5}$①
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调减函数，
则x∈[1，2]时，f′（x）≤0恒成立．
即$\frac{3}{a}$≤4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
所以$\frac{3}{a}$≤h（1），即$\frac{3}{a}$≤3，
解得a≥1或a＜0．②
综上可得实数a的取值范围是a≥1或a≤$\frac{2}{5}$且a≠0．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，注意运用恒成立思想，综合性较强．